Апериодическая разрядка конденсатора

Апериодической разрядкой конденсатора, заряженного до напряжения , через резистор и катушку индуктивности называется разрядка, при которой напряжение на конденсаторе монотонно спадает от значения до нуля, т. е. не происходит перезарядки конденсатора. С энергетической точки зрения это означает, что при разрядке конденсатора отдаваемая им энергия лишь в малой доле переходит в энергию магнитного поля катушки, а большая ее часть поглощается в резисторе. Начиная с некоторого момента времени, в тепло переходит не только оставшаяся энергия электрического поля конденсатора, но и энергия, которая запаслась в магнитном поле катушки.
Апериодическое решение однородного дифференциального уравнения, т. е. в рассматриваемом случае апериодический характер свободного процесса (разрядки конденсатора), имеет место, если корни характеристического уравнения (14.35) действительные, т. е. если

или

Назовем критическим сопротивлением контура такое его наименьшее значение, при котором свободный процесс имеет еще апериодический характер:

Корни действительные и различные, если выполняется неравенство .
Общее решение однородного дифференциального уравнения второго порядка, и в частности (14.32), при различных корнях записывается в виде

где при условии (14.36) — действительные постоянные интегрирования, определяемые из начальных условий, а — действительные и различные корни характеристического уравнения.
Заметим, что корни обязательно отрицательные, так как свободный процесс должен быть затухающим во времени.
Согласно (14.31) ток

При разрядке конденсатора установившееся напряжение на нем и ток равны нулю, поэтому их переходные значения равны свободным:
Из начальных условий определим значения постоянных интегрирований. Подставив начальные условия в (14.38) и (14.39), получим

откуда

Приу этих значениях постоянных интегрирования напряжение (14.38) и ток (14.39)

Так как произведение корней характеристического уравнения равно его свободному члену, т. е. , то

Напряжение на индуктивности

Ток и напряжения на емкостном и на индуктивном элементах состоят из двух экспоненциальных составляющих, коэффициенты затухания которых равны и определены равенствами (14.35).

Рис. 14.17

Кривые изменения и их составляющих приведены на рис. 14.17 и 14.18. Они показывают, что напряжение монотонно уменьшается с начального значения , а ток, возрастая от нуля, достигает максимума, а затем также уменьшается. Касательная к кривой в начале координат горизонтальна, так как производная напряжения пропорциональна току и в начальный момент равна нулю.
Поскольку , максимум кривой тока и точка перегиба кривой напряжения получаются в один и тот же момент времени . Это время можно найти, приравняв нулю производную .
Напряжение на индуктивном элементе изменяется от значения , так как при t = 0 и ток, и напряжение равны нулю, и, следовательно, напряжения и равны по абсолютному значению. Напряжение по абсолютному значению сначала уменьшается, затем проходит через нуль в момент, когда ток максимален (что следует из соотношения ), и возрастает до некоторого положительного максимума, после чего уменьшается и стремится к нулю. Пока ток алгебраически уменьшается (в интервале от нуля до ), ЭДС самоиндукции поддерживая его, будет согласно закону Ленца положительной, а напряжение — отрицательным. Когда ток начинает алгебраически возрастать, ЭДС самоиндукции противодействует ему и будет отрицательной, а напряжение — положительным.
Максимум кривой и точка перегиба кривой i получаются в один и тот же момент времени , что следует в свою очередь из равенства . Этот момент времени можно найти, приравняв нулю производную .
Отметим также влияние индуктивности на протекание процесса. Из выражений (14.35) следует, что увеличение индуктивности L приводит к уменьшению абсолютных значений и, стало быть, к замедлению нарастания тока и спада напряжения на конденсаторе. Наоборот, при малой индуктивности L ток растет быстро и быстро спадает напряжение на конденсаторе. Такой случай фактически получается при разрядке конденсатора через резистор (см. раздел).