Короткое замыкание rL-цепи

Ветвь с сопротивлением и индуктивностью, например реальная катушка, внезапно замыкается ключом накоротко (рис. 14.1). Ток в катушке до коммутации был постоянным

Найдем закон изменения тока в катушке.
Установившийся ток в катушке после коммутации равен нулю. Следовательно,
Свободный ток удовлетворяет однородному дифференциальному уравнению первого порядка

общее решение которого, как легко проверить подстановкой,

В (14.8) А — постоянная интегрирования и — r/L=р — корень характеристического уравнения

соответствующего однородному дифференциальному уравнению (14.7).
При t=0 из (14.8) следует, что i(0)=i(0+) = А, и, так как по первому закону коммутации , т. е. при имеем i(0+)=i(0-), то
Таким образом, после коммутации

(рис. 14.2).

Рис. 14.1

Рис. 14.2

Величина τ=L/r, имеющая размерность времени, называется постоянной времени rL-цепи и может быть определена как время, в течение которого свободный ток уменьшится в е раз по сравнению со своим начальным значением . В самом деле,

Для графического определения t проведем касательную к кривой в любой ее точке С. Значение подкасательной BD может быть найдено из треугольника CBD, а

где — масштабы, т. е. постоянная времени численно равна длине любой подкасательной. В частности, она численно равна длине подкасательной для касательной , проведенной в начальной точке .
Величина, обратная постоянной времени,

называется коэффициентом затухания rL-цепи. Свободный ток затухает тем медленнее, и, следовательно, новый принужденный режим не устанавливается тем дольше, чем больше постоянная времени τ или чем меньше коэффициент затухания α, т. е. чем больше индуктивность L и чем меньше сопротивление r.
Электродвижущая сила самоиндукции

равна при t = 0 напряжению на сопротивлении r и в момент коммутации поддерживает значение тока на начальном уровне.
С энергетической точки зрения процесс короткого замыкания rL-цепи характеризуется тем, что вся энергия, запасенная до коммутации в магнитном поле катушки,

в течение переходного процесса превращается в сопротивлении r в тепло:

Заметим, что теоретически процесс исчезновения тока в короткозамкнутой катушке длится бесконечно долго, чем и объясняется необходимость в качестве верхнего предела у интеграла взять бесконечность. Однако практически для многих катушек этот переходный процесс закончится весьма быстро. Постоянная времени rL-цепи обычно лежит в пределах от нескольких микросекунд до долей секунды. Последнее значение относится к большим катушкам со стальным магнитопроводом и значительным числом витков.
Если до короткого замыкания в катушке был переменный ток, то характер переходного процесса нисколько не изменится, но i(0) равно значению тока в катушке i(0-) в момент короткого замыкания.
С переходным процессом в rL-цепи приходится считаться во многих случаях электротехнической практики, например при измерении сопротивления r обмотки трансформатора с большой индуктивностью (рис. 14.3), которая питается от источника постоянной ЭДС E через дополнительный резистор с сопротивлением R. Напряжение на обмотке измеряется милливольтметром. Если после отсчета показаний амперметра и милливольтметра отключить обмотку трансформатора от источника напряжения, то ее ток замкнется через милливольтметр. Так как ток обмотки трансформатора может быть достаточно большим и в момент отключения рубильника не изменяется скачком, то милливольтметр можно сжечь.
Обмотку возбуждения мощной электрической машины при необходимости быстро снять возбуждение не отключают от цепи питания (постоянное напряжение), а замыкают на разрядное сопротивление, в котором энергия магнитного поля превращается в тепло (рис. 14.4). Если просто разомкнуть цепь обмотки возбуждения, то даже при наличии электрической дуги ток очень быстро уменьшится до нуля (- di/dt будет очень велико). Так как обмотка возбуждения имеет большую индуктивность LB, то в ней возникает весьма значительная ЭДС самоиндукции , которая может пробить изоляцию на корпус машины или изоляцию между витками.