При составлении расширенных узловых уравнений все ветви схемы разделим на два подмножества: g-ветви и r-ветви (рис. 1.26, а и б) — частные случаи обобщенной ветви (см. рис. 1.25).

Для g-ветви компонентное уравнение

I = gU — J,

и в матричной форме для всего подмножества g-ветвей

где g — диагональная матрица проводимостей g-ветвей. Ветвь с идеальным источником тока следует считать g-ветвью, у которой проводимость g = 0. Для r-ветви компонентное уравнение

U — rl — Е,

и в матричной форме для всего подмножества r-ветвей

где r — диагональная матрица сопротивлений r-ветвей.
Ветвь с идеальным источником ЭДС следует считать r-ветвью, у которой сопротивление r = 0.
При составлении топологических уравнений по первому закону Кирхгофа AI = 0 выберем первые номера для g-ветвей. Поэтому запишем первое уравнение Кирхгофа в виде

или

Напряжения ветвей связаны с потенциалами узлов матричным уравнением ( 1.40) или при выбранной нумерации ветвей

т.е.

Заменив в (1.66) Ug по (1.69а) и в (1.68) 1в по (1.66), получим



В (1.67) подставим Ur по (1.696) и получим



Уравнения (1.70) и (1.71) определяют потенциалы узлов φ и токи r-ветвей Ir при заданной конфигурации схемы и значениях ее элементов g, J, r и Е. В (1.70) — узловая матрица проводимостей, но не всех ветвей, а только g-ветвей; — узловой ток.
Уравнения (1.70) и (1.71) можно объединить в матричное расширенное узловое уравнение:

Решение системы уравнений не требует перемножения матриц, снимает ограничения, которые необходимо учитывать при расчете режима цепи с применением метода узловых потенциалов, но количество совместно решаемых уравнений увеличивается на число r-ветвей.