В этих уравнениях — суммы проводимостей ветвей, присоединенных соответственно к узлам 1 и 2; — сумма проводимостей ветвей, соединяющих эти узлы.
Правая часть каждого из уравнений (1.30) равна алгебраической сумме произведений ЭДС в каждой ветви на проводимость ветви, присоединенной к рассматриваемому узлу. Произведение вида Eg записывается с положительным знаком в том случае, если ЭДС направлена к узлу, для которого записывается уравнение, и с отрицательным, если ЭДС направлена от узла.
Уравнения (1.30) не зависят от выбранных положительных направлений токов в ветвях.
Чтобы подтвердить это положение, рассмотрим опять схему, показанную на рис. 1.16, и для каждого узла примем положительные направления токов от узла.
Для узлов 1 и 2 справедливы уравнения

Принимая, как и раньше, φ₃ = 0 напишем выражения для токов ветвей:
для узла 1

для узла 2

После подстановки (1.32) в (1.31) и группировки слагаемых получаются уравнения, совпадающие с (1.30).
Таким образом, можно написать уравнения для определения потенциалов узлов произвольной электрической цепи, не задаваясь положительными направлениями токов в ветвях, при этом потенциал одного из узлов надо принять равным нулю.
Если электрическая схема содержит не только источники ЭДС, но и источники тока, то в уравнения, составленные по первому закону Кирхгофа, войдут и токи источников тока. При составлении уравнений вида (1.30) токи заданных источников тока учитываются для каждого узла в виде слагаемых в правой части, причем, как было отмечено выше, с положительными знаками должны быть взяты токи источников тока, направленные к узлу, с отрицательными — от узла.
Например, для узлов 1, 2 и 3 схемы, показанной на рис. 1.17, при φ₄ = 0 получим соответственно следующие уравнения:

где

Если электрическая схема имеет в своем составе У узлов (У — любое целое число), а потенциал, например, У-го узла принят равным нулю, то для определения У — 1 потенциалов остальных узлов получается У — 1 уравнений:

или в более общей форме для любого узла р при φ_у = О

В этих уравнениях, так же как и в уравнениях (1.30), проводимость g_pp (с двумя одинаковыми индексами) представляет собой суммарную проводимость ветвей, присоединенных к узлу р, и называется собственной узловой проводимостью этого узла; проводимость g_jp = g_pj с двумя различными индексами равна сумме проводимостей ветвей, соединяющих между собой рассматриваемые узлы j и р, и называется общей узловой проводимостью этих узлов. Правая часть каждого из уравнений содержит алгебраические суммы произведений ЭДС на соответствующие проводимости для всех ветвей, присоединенных к узлу р, ток J_p равен алгебраической сумме токов всех источников тока, присоединенных к тому же узлу. В свою очередь, ток — узловой ток — равен алгебраической сумме J_p и токов, определяемых источниками ЭДС, которые присоединены к узлу р, при этом следует иметь в виду, что для замкнутых поверхностей сумма всех узловых токов, как это вытекает из первого закона Кирхгофа, равна нулю. К узловым токам можно отнести и уже известные в каких-либо ветвях токи. Проводимости таких ветвей в выражения вида g_pp и g_jp не входят.
Решив уравнения (1.33), можно определить потенциалы узлов, а зная потенциалы, найти токи во всех ветвях по закону Ома (1.12а).
Если в цепи имеются ветви с идеальными источниками ЭДС и сопротивлениями этих ветвей можно пренебречь, то при составлении уравнений (1.33) получается неопределенность, поскольку проводимости таких ветвей бесконечно большие. Такое затруднение преодолевается путем переноса заданной ЭДС из ветви с нулевым сопротивлением через соответствующий узел в другие ветви, присоединенные к тому же узлу и имеющие конечные значения сопротивлений. В результате такого преобразования токи во всех ветвях заданной схемы не изменяются.
Для иллюстрации рассмотрим схему (рис. 1.18, а), у которой сопротивление ветви 2-4 равно нулю, а ЭДС равна Е. Если в каждую ветвь, присоединенную, например, к узлу 2, включить источник напряжения с ЭДС, равной Е и направленной от узла 2 (на рис. 1.18, а эти ЭДС изображены штриховой линией), то токи во всех ветвях останутся без изменения, поскольку разности потенциалов между точками 1‘, 3′, 4’ будут, так же как и в заданной схеме, равны нулю. Теперь потенциалы узлов 2 и 4, очевидно, одинаковы и их можно объединить в одну точку (рис. 1.18,6). Для полученной схемы с тремя узлами (вместо четырех) можно составить два независимых уравнения вида (1.33), из которых определяются искомые потенциалы двух узлов, а затем по закону Ома токи во всех ветвях схемы (рис. 1.18,6), после чего легко найти ток в ветви с сопротивлением r = 0 (рис. 1.18, а) по первому закону Кирхгофа.

Рассмотренную и аналогичные ей задачи можно решить и без предварительного переноса ЭДС через узел в другие ветви. Действительно, если принять в заданной схеме (рис. 1.18, а) φ₄ = 0, то потенциал φ₂ узла 2, очевидно, будет равен Е. Для определения двух неизвестных потенциалов φ₁ и φ₃ нужно составить уравнения (1.33), которые полностью совпадут с уравнениями, составленными для тех же узлов эквивалентной схемы (рис. 1.18,6).
Полезно еще рассмотреть применение уравнений (1.33) для частного случая схемы с двумя узлами и произвольным числом ветвей, все или часть которых содержат источники ЭДС. Требуется определить напряжение между этими узлами.
Пусть между узлами 1 и 2 включено m ветвей (рис. 1.19). Найдем напряжение U₁₂, записав уравнение (1.33) для первого узла

откуда

где числитель представляет собой алгебраическую сумму произведений ЭДС на проводимость для всех ветвей, содержащих ЭДС (с положительным знаком записываются ЭДС, направленные к узлу 1), а знаменатель — арифметическую сумму проводимостей всех ветвей, включенных между узлами.
Если между узлами 1 и 2 включены еще источники тока, то их значения следует добавить в числитель (1.34), причем со знаком плюс записываются токи, направленные к узлу 1.

Пример 1.3.
На рис. 1.20, к изображена электрическая схема с шестью неизвестными токами; ЭДС источников: Е₁ = 6 В, Е₂ = 12 В, Е₃ = 18 В; сопротивления ветвей: r₁ = r₂ = r₃ = 2 Ом и r₄ = r₅ = r₆ = 6 Ом. Пользуясь методом узловых потенциалов, определить токи во всех ветвях.
Решение.
Пусть потенциал точки 0 равен нулю. Запишем уравнения для узлов с потенциалами φ₁, φ₂ и φ₃:



или после подстановки численных значений проводимостей и ЭДС



Решив совместно эти уравнения, найдем искомые потенциалы: φ₁ = -9 В; φ₂ = 3 В; φ₃ = 6 В. Для определения токов в ветвях следует задаться их положительными направлениями. При выбранных положительных направлениях токов (рис. 1.20, а)



Матричные уравнения узловых потенциалов.
Уравнения узловых потенциалов (1.33) можно записать в матричной форме:

где

— квадратная матрица узловых проводимостей схемы;

— матрица-столбец потенциалов узлов и матрица-столбец узловых токов, причем по (1.33а) , при этом алгебраическое суммирование, выполняемое с учетом знаков, распространяется на все ветви с источниками токов и с источниками напряжений, присоединенные к i-му узлу.
Умножив слева уравнение (1.35) на получим уравнение для определения потенциалов узлов схемы в виде

где — матрица, обратная матрице .
Ниже показано, что матрицу узловых проводимостей можно составить непосредственно по соответствующей схеме цепи по формуле

где А — матрица соединений (узловых проводимостей ветвей схемы) или ее направленного графа; g — диагональная матрица проводимостей ветвей; — транспонированная матрица соединений.
Для иллюстрации применения формулы (1.39) рассмотрим схему рис. 1.20, а, для которой на рис. 1.20,6 построен направленный граф. Поскольку у заданной схемы четыре узла, то для нее можно составить три независимых уравнения, чему и соответствует матрица соединения узловых проводимостей ветвей из трех строк и шести столбцов (для узлов 1, 2, 3):

Диагональная матрица проводимостей ветвей

Произведение матриц А и g

Матрица узловых проводимостей цепи (1.39) получается после перемножения матриц Ag и :

Матрица-столбец потенциалов узлов

Матрица-столбец узловых токов

Пользуясь выражением (1.35), легко получить систему уравнений, приведенную в примере 1.3.
Если матрицу А дополнить четвертой строкой, соответствующей узлу О, то по (1.39) получится неопределенная матрица узловых проводимостей цепи, для которой сумма элементов по всем четырем строкам и четырем столбцам равна нулю; определитель такой матрицы также равен нулю. После вычеркивания любой строки и соответствующего этой строке столбца, например четвертой строки и четвертого столбца, получается определенная квадратная матрица третьего порядка.
Определитель неопределенной матрицы симметричен относительно главной диагонали. Если вычеркнутая строка не соответствует вычеркнутому столбцу, то и в этом случае получается определенная квадратная матрица, соответствующая независимой системе уравнений. Однако определитель такой матрицы уже не имеет симметрии относительно главной диагонали.
Здесь следует особо подчеркнуть, что если принять равным нулю потенциал того же узла схемы, который соответствует вычеркнутой строке матрицы А, то напряжения на всех ветвях схемы определяются через потенциалы узлов по формуле

где положительное направление напряжения U_jp совпадает с положительным направлением тока в ветви. Это непосредственно получается из формул для напряжения на каждой ветви. Например, для схемы по рис. 1.20

Из этого выражения следует

как и должно быть.