Пользуясь методом контурных токов, установим еще одно важное свойство линейных электрических цепей — свойство взаимности, или, как его еще называют, принцип взаимности.
Сущность этого свойства заключается в следующем. Пусть в схеме произвольной конфигурации единственный источник ЭДС действует в ветви с сопротивлением в направлении от точки b к точке а (рис. 2.3, а) и создает в ветви с сопротивлением ток направленный от точки d к точке с. Такой же единственный источник ЭДС включенный в ветвь с сопротивлением и действующий в направлении от d к с (рис. 2.3,6), создаст в ветви с сопротивлением ток , направленный от b к а и равный току .

На рис. 2.3 изображены ветви ub и cd с сопротивлениями а остальная часть схемы, не содержащая источников энергии, условно показана в виде прямоугольника с буквой П (пассивная).
Для доказательства свойства взаимности обратимся к выражению (1.49), определяющему ток в любом контуре. Пусть ветвь cd является частью контура l а ветвь ab входит в состав другого контура q (рис. 2.3,а), и, как указано, других источников, кроме источника ЭДС эта цепь не содержит. Контуры выберем так, чтобы ветви ab и cd вошли каждая в один контур, соответственно q и l.
Ток в контуре l, равный току ветви dc,

Если источник ЭДС переставить в ветвь cd контура l (рис. 2.3,6), та согласно (1.49) ток в контуре q, т. е. ток в ветви ab,

Алгебраическое дополнение вида получается из определителя путем вычеркивания в нем столбца l и строки q и умножения получаемого определителя на , а алгебраическое дополнение вида — вычеркиванием столбца q и строки l и умножением получаемого определителя на . Так как в контурных уравнениях общие сопротивления равны друг другу, т. е. и т. д., то и (отличаются только тем, что строки являются столбцами и наоборот). Следовательно, при равенстве ЭДС токи в ветвях cd (рис. 2.3, а) и ab (рис. 2.3,6) равны друг другу.
Отметим, что свойство взаимности справедливо не только для токов, но и для напряжений, и его можно также обосновать, пользуясь законами Кирхгофа или методом узловых потенциалов.