Сложение синусоидальных функций времени

При исследовании цепей синусоидального тока приходится алгебраически суммировать. Гармонические функции времени одинаковой частоты, но с различными амплитудами и с различными начальными фазами. Непосредственное суммирование гармонических функций времени связано с трудоемкими и громоздкими тригонометрическими преобразованиями. Значительно проще эта задача решается графически при помощи векторной диаграммы или аналитически путем суммирования комплексных амплитуд.
Пусть требуется найти сумму двух гармонических функций времени

Сначала рассмотрим решение, выполняемое при помощи векторной диаграммы. Отложим векторы и графически определим вектор равный геометрической сумме векторов (рис. 3.5). Эта векторная диаграмма построена для случая, когда .
Представим себе, что векторы с момента t=0 начинают вращаться вокруг начала координат О против направления движения часовой стрелки с постоянной угловой скоростью ω. Проекция вращающегося вектора на вертикальную ось N’N в любой момент времени равна сумме проекций на эту же ось вращающихся векторов , т. е. мгновенных величин . Следовательно, проекция вектора на вертикальную ось равна искомой сумме , а вектор изображает искомую синусоидальную функцию времени .

Таким образом, определив из диаграммы длину вектора и угол ψ, можем написать выражение искомой величины .
Теперь перейдем к аналитическому методу. Рассматривая векторы как комплексные амплитуды, на основании выполненного построения (рис. 3.5) можно написать

Чтобы произвести суммирование комплексных чисел, их надо представить в алгебраической форме:

Выполнив суммирование, получим

где
Отсюда находим

Так как , то для определения ψ нужно еще знать, в какой четверти располагается вектор . Это легко устанавливается по знакам действительной и мнимой частей . В расчетах начальную фазу ψ выражают или в радианах, или в градусах.
Рассмотренные способы можно применить для сложения любого числа синусоидальных функций времени одинfковой частоты.
Обычно при расчетах цепей синусоидального тока необходимо знать только действующие величины для синусоидальных функций времени и их сдвиг по фазе относительно друг друга. В этих случаях при построении векторных диаграмм нужно точно соблюдать углы сдвига фаз между векторами, а положение осей координат можно выбрать произвольно или оси совсем не изображать. Кроме того, длины векторов часто берут равными не амплитудным, а действующим величинам.
Соответственно при аналитическом расчете начальные фазы можно изменить на один и тот же угол, например так, чтобы начальная фаза одной из рассматриваемых функций стала равной нулю. Вместо комплексных амплитуд часто берут значения, в раз меньшие, так называемые комплексные действующие величины: