Круговые диаграммы неразветвленной цепи и активного двухполюсника

Рассмотрим схему неразветвленной цепи (рис. 9.3), состоящую из последовательно соединенных элемента с неизменным сопротивлением и приемника с сопротивлением , аргумент которого неизменен, а модуль изменяется в пределах от 0 до . Положим для определенности, что . Найдем геометрическое место конца вектора тока при заданном неизменном напряжении .
Ток

ничем не отличается от выражения (9.3), в котором соответствует соответствует .

Следовательно, конец вектора перемещается по дуге окружности.
Построение круговой диаграммы может быть выполнено в следующем порядке:
1. Выбираем масштаб для напряжения и откладываем вектор (рис. 9.4).
2. Вычисляем ток при , т. е. при коротком замыкании на выводах приемника (n = 0).
3. Выбираем масштаб для тока и откладываем вектор . Он представится отрезком , повернутым относительно на угол . Отрезок ОК является хордой круговой диаграммы.
4. Выбираем масштаб сопротивлений и вдоль прямой ОК откладываем отрезок
5. Из точки А под углом к вектору проводим линию изменяющегося параметра AN’.
6. Из начала координат проводим прямую .
7. Находим центр С круговой диаграммы как точку пересечения прямой OD и перпендикуляра, восстановленного из середины хорды ОК.
8. Проводим дугу круговой диаграммы. Эта дуга ограничена хордой ОК и лежит с той же стороны относительно хорды, где расположена линия AN’.
Ток для любого значения находим из диаграммы простым построением. Откладываем отрезок , и точку N соединяем прямой с точкой О. Отрезок ОМ этой прямой от точки 0 до пересечения с окружностью и представляет вектор тока . При изменении от 0 до точка М (конец вектора ) перемещается от точки К до точки О.
Покажем, как из круговой диаграммы можно получить различные величины, характеризующие режим цепи.
При заданном напряжении на выводах цепи ток пропорционален полной проводимости цепи , поэтому отрезок ОМ может служить мерой полной проводимости цепи. Масштаб для проводимости определим по режиму короткого замыкания, при котором проводимость измеряется отрезком ОК: В этом же масштабе можно
определить активную и реактивную проводимости цепи как проекции отрезка ОМ на ось, совпадающую с вектором и ось ОР, ей перпендикулярную.

Рис. 9.3

Рис. 9.4

Если , т.е. считается действительным числом (на рис. 9.4 ось действительных величин направлена вверх), то имеют одинаковые аргументы и круговая диаграмма для тока в масштабе является круговой диаграммой комплексной проводимости цепи.
Из диаграммы имеем

где
Длины отрезков ОК, ОМ и МК пропорциональны напряжениям Напряжения можно определять по отрезкам ОМ и МК, пользуясь масштабом
Направления векторов (на диаграмме не показаны) отличаются от направлений векторов на угол
Длина перпендикуляра MF, опущенного из точки М на линию ОР, определяет активную мощность на входе цепи. Действительно,

где — масштаб мощности
Отрезок OF прямой ОР пропорционален реактивной мощности на входе цепи. Действительно,

Покажем еще, что полную , активную и реактивную мощности можно определить отрезком MG перпендикуляра MF к линии ОР или длиной перпендикуляра МН, опущенного из точки М на хорду ОК. Опустим из точки К перпендикуляр КВ на прямую ON. Площадь треугольника ОМК равна:

Угол не зависит от положения точки М. В полученном выражении для площади треугольника ОМК все сомножители, кроме , постоянны. Следовательно, площадь треугольника пропорциональна . Так как , то площадь треугольника пропорциональна также У треугольника ОМК сторона ОК постоянна, поэтому его площадь пропорциональна высоте МН (ОК принята за основание треугольника) или отрезку MG, который пропорционален МН.
Масштабы можно определить, вычислив мощности для любого частного режима и разделив полученные значения на длину отрезка MG.
Например, исходя из режима, отмеченного на диаграмме точкой М, имеем

Пользуясь круговой диаграммой, можно определить зависимости
Для этого, задавшись значением , отложим соответствующий отрезок AN и определим положения точки М — конца вектора . Затем проведем отрезки МК, MF и MG и замерим их длины; наконец, пользуясь масштабами, вычислим соответствующие этим отрезкам величины. Вообще же по круговой диаграмме можно найти зависимость всех перечисленных выше величин от любой из них, принятой за независимую переменную. Вычерчивая ряд отрезков, изображающих величину, которая принята за независимую переменную, нетрудно построить отрезки, определяющие остальные величины.
Рассмотренная круговая диаграмма для неразветвленной цепи применима к любому активному двухполюснику, сопротивление нагрузки которого изменяется так, что угол Это утверждение следует из принципа эквивалентного генератора, согласно которому активный двухполюсник с сопротивлением нагрузки можно представить схемой по рис. 9.3, в которой — входное сопротивление активного двухполюсника, a — напряжение на выводах двухполюсника при холостом ходе.

Пример 9.1. Построить круговую диаграмму для тока в неразветвленной части цепи рис. 9.5 при изменении емкости С, считая, что остальные параметры цепи , а также частота и напряжение питания неизменны.
Решение. Ток Ток неизменный, а ток изменяется по круговой диаграмме. Заметим, что в схеме рис. 9.5 соответствуют сопротивлениям в схеме рис. 9.3 и комплексным величинам в (9.2).
Выбрав масштабы , отложим векторы (рис. 9.6). Конец вектора примем за начало для построения круговой диаграммы тока .
Вычислим ток при коротком замыкании изменяющегося сопротивления, т. е. при , получим . Ток совпадает по фазе с напряжением . Отложив вектор из конца вектора получим хорду круговой диаграммы тока . Выбрав масштаб , отложим отрезок Затем из точки А под углом проведем линию изменяющегося параметра AN’. Перпендикуляр , проведенный из начала диаграммы к линии изменяющегося параметра AN’, совпадает с хордой . Поэтому перпендикуляр, восстановленный из середины хорды (показан штриховой линией), пересекается с в середине хорды. Эта точка пересечения — центр С круговой диаграммы. Таким образом, в рассматриваемом случае хорда является диаметром окружности. Круговая диаграмма тока — это половина дуги окружности, лежащей слева от (на той стороне, где находится линия изменяющегося параметра). На круговой диаграмме показано положение вектора для некоторого частного значения . Так как , то, как видно из построения, конец вектора перемещается по той же полуокружности, по которой перемещается конец вектора .
На диаграмме отмечены два резонансных режима (токи совпадают по фазе с напряжением ): первый резонансный режим получается при и второй — при Из круговой диаграммы следует, что минимум тока получается вблизи первого резонансного режима, но не при резонансе.
Если то круговая диаграмма расположится, как указано на рис. 9.7, а и, очевидно, возможен только один резонансный режим. При (рис. 9.7, б) резонанс не получается ни при каком значении емкости С.