Расчеты разветвленных цепей при наличии взаимной индуктивности

Расчеты разветвленных цепей можно вести, составляя уравнения по первому и второму законам Кирхгофа или методом контурных токов. Метод узловых потенциалов непосредственно непригоден. Объясняется это тем, что ток в любой ветви зависит не только от ЭДС находящегося в ней источника и от потенциалов тех узлов, к которым ветвь присоединена, но и от токов других ветвей, которые наводят ЭДС взаимной индукции. Поэтому нельзя простым путем выразить токи ветвей через потенциалы узлов и ЭДС источников, как в цепях без индуктивно связанных элементов.
Применение метода узловых потенциалов требует особых приемов и здесь не рассматривается.
Принцип эквивалентного генератора можно применять, если внешняя по отношению к двухполюснику часть цепи не имеет индуктивных связей с той частью цепи, которая входит в состав двухполюсника. Разумеется, что нельзя пользоваться выведенными ранее формулами для преобразования треугольника сопротивлений в эквивалентную звезду и обратно.
Чтобы обойти указанные выше ограничения в применении расчетных методов, в ряде случаев целесообразно исключить индуктивные связи, перейдя к эквивалентным схемам без индуктивных связей (см. раздел).
При составлении уравнения по второму закону Кирхгофа ЭДС взаимной индукции обычно учитываются как соответствующие напряжения. Знак комплексного напряжения на элементе k определяется на основании сопоставления направления обхода элемента к и положительного направления тока в элементе s. Если эти направления относительно одноименных выводов одинаковы, то напряжение равно . В противном случае напряжение равно . Это правило знаков вытекает из обоснований, приведенных в разделе.
В качестве примера запишем уравнения по законам Кирхгофа для схемы, представленной на рис. 6.10. Для большей ясности напряжения в уравнениях выпишем в порядке расположения элементов контура без приведения подобных членов:

Приведем также уравнения, составленные по второму закону Кирхгофа для контурных токов:

Сокращенно последние уравнения можно записать так:

где — комплексные сопротивления контуров 1, 2 и 3;
— комплексные взаимные (общие) сопротивления контуров 1 и 2, 2 и 3, 3 и 1; — комплексные контурные ЭДС. Например,

Заметим, что в комплексные сопротивления контуров и в комплексные взаимные сопротивления двух контуров слагаемые входят со знаком плюс или минус в зависимости от того, совпадают или не совпадают по отношению к одноименным выводам элементов цепи k и s направление обхода контура через элемент к и положительное направление тока через элемент s.
Для цепей, содержащих индуктивно связанные элементы, справедливо свойство взаимности. Доказательство этого положения ничем не отличается от приведенного для цепей постоянного тока.

Рис. 6.10

Пример 6.1.
К выводам 1-1′ цепи (рис. 6.11) подведено питание. Определить напряжение между разомкнутыми выводами 2-2′. Дано:
Решение. Полагаем . Находим:

Напряжение определяем, обходя схему от вывода 2 к выводу 2′:

Если бы нижний вывод индуктивности был одноименным с верхним выводом индуктивности , то направление обхода элемента и направление тока в элементе относительно одноименных выводов были бы различными. Поэтому перед слагаемым следовало бы поставить знак минус, и напряжение было бы равно .

Рис. 6.11

Пример 6.2.
Определить входное сопротивление цепи, показанной на рис. 6.12. Дано: .
Решение. Зададимся напряжением определим ток и затем найдем . Заметим, что если бы не было взаимной индуктивности, то .
Для контура 1-3-2-2′-1′

Для контура 3-3′-2′-2-3

откуда

Подставив (в) в (а), получим