Колебания шинопроводов, имеющих поворот

При решении вопроса колебания шинопроводов, имеющих повороты (отклонение от прямой), такой случай с поворотом на 90° приведен на рис. 10-21, приходится решать задачу расчета устойчивости пространственной системы. Эта задача является сложной и громоздкой с точки зрения классической теории упругости.
Для того чтобы решить эту задачу, воспользуемся методом продолжения (матричным методом).
В основу его положено дифференциальное уравнение поставленной задачи и решение с последующими производными. Применение к ним матричной формулировки и в особенности получение на этой основе матриц участков и переходов в сочетании с использованием матричной формулы образовали самостоятельный единый алгоритм решения. Метод продолжения основывается на следующей матричной зависимости

где — то же в k-м сечение системы; Р — матрица воздействия (изгиба, устойчивости, колебания и т. д.), представляющая получаемое по формуле продолжения произведение соответствующих матриц пролетов и переходов; — начальное напряженно-деформированное состояние.
Применяя метод продолжения для изучения собственных поперечных колебаний участка шин, имеющих поворот (рис. 10-21), предположим, что:
1) участок шин имеет два закрепленных конца;
2) скручивающие колебания шинопровода вокруг своей оси незначительны и ими можно пренебречь;
3) систему с распределенной массой (рис 10-21) заменяем системой с сосредоточенными массами (рис. 10-22).

Рис. 10-21. Поворот шинопровода на 90°.

Рис. 10-22. Система с сосредоточенными массами.

Тогда матричные уравнения напряженного и деформированного состояния системы, показанной на рис. 10-22, принимают вид:

где

— расширенная матрица-столбец напряженного и деформированного состояния сечения А;
— угол закручивания сечения; — крутящий момент; — перемещение сечения при изгибе; — угол поворота сечения при изгибе; — изгибающий момент; — поперечная сила в сечении.

— расширенная матрица-столбец напряженного и деформированного состояния сечения В;

— матрица половины длины пролетов I и II;
Е — модуль упругости материала шины; J — момент инерции сечения шины; — половина длины первого пролета;

— матрица сосредоточения массы пролета I ;
— масса пролета; — угловая частота колебания;

— матрица сосредоточенной массы пролета II;

— матрица перехода или матрица угла поворота;

— матрица половины длины пролетов III и IV.

Краевые условия, соответствующие условиям заделки концов шинопровода, следующие:

Так как в матрицах-столбцах из шести составляющих три равны нулю, то, вычерчивая соответствующие строки и столбцы матрицы произведения Н, получаем искомое характеристическое уравнение собственных колебаний рассматриваемой системы:

Решение этого уравнения дает числовое значение частот собственных колебаний участка шинопровода с поворотом его на 90°:

После перемножения матриц согласно уравнению (10-41), раскрытия определителя (10-40) и алгебраических преобразований получим характеристическое уравнение (10-42)

где
Для того чтобы определить значения частот собственных колебаний участка шинопровода с поворотом при различных значениях длины пролетов, типоразмеров и материала шин, по уравпоиию (10-42) следует прибегнуть к использованию цифровых ЭВМ. Уравнение (10-42) решается на цифровой ЭВМ по итерационному методу Ньютона.
Результаты расчета, произведенного на цифровой ЭВМ, показывают, что частота собственных колебаний шин шинопровода, имеющего поворот, зависит от геометрических размеров шин и соотношения между длинами пролета (рис. 10-23). Для участка шин, имеющих поворот, а также равные пролеты , рекомендуется формула для определения частоты собственных колебаний