1. Разложить в тригонометрический ряд функцию, выражаемую кривой периодических импульсов напряжения постоянной амплитуды длительностью (рис. 7.2, а). Дано: .
Полученную функцию представить также в виде комплексного ряда Фурье. Построить амплитудно-частотный спектр в зависимости от: а) номера гармоники n и б) угловой частоты ω. Такие же спектры построить, если Т=2 мс, остальные данные те же.

Решение:
Уравнение заданной кривой: в интервале от t=0 до , в интервале от до .
Разбивая область интегрирования на два участка, учитывая, что , находим коэффициенты ряда и начальные фазы гармоник:

Вычисляем коэффициенты ряда и начальные фазы гармоник. При этом имеем в виду, что

Для удобства расчеты сведены в таблицу 1.

Таблица 1

Искомый ряд

или, учитывая, что , окончательно получим

Для определения ряда Фурье в комплексной форме находим комплексные амплитуды

Таким образом, комплексная форма ряда Фурье

На основе полученных результатов на рис. 7.2, б изображен амплитудно-частотный спектр напряжения в зависимости от номера гармоники (расчеты для n от 1 до 10 даны в таблице 1; аналогичные расчеты для n=11…30 рекомендуется проделать самостоятельно).
По данным таблицы 1 на рис. 7.2, в построен амплитудно-частотный спектр в зависимости от . Для построения графика выбраны масштабы: по оси абсцисс одному делению соответствует ; по оси ординат в одном делении (при построении последнего графика спектральные амплитуды приведены к нормированному масштабу путем деления на ).
На рис. 7.2, г построен амплитудно-частотный спектр в зависимости от n при Т=2 мс, а на рис. 7.2, д спектр изображен в нормированном масштабе в зависимости от (расчеты рекомендуется проделать самостоятельно).
Из рис. 7.2, в и д видно, что спектральные характеристики импульсов одной и той же длительности зависят от периода Т следования импульсов, и чем он больше, тем гуще располагаются спектральные линии, а амплитуды соседних гармоник близки по значению.
На рис. 7.2, б-д отложены значения , соответствующие положительным частотам. Полный спектр можно получить, если построить такой же график симметрично относительно вертикальной оси (т. е. отложить соответствующие отрезки для отрицательных частот).