Аналитический метод разложения периодических кривых в ряд Фурье

1. Разложить в тригонометрический ряд функцию, выражаемую кривой периодических импульсов напряжения постоянной амплитуды длительностью (рис. 7.2, а). Дано: .
Полученную функцию представить также в виде комплексного ряда Фурье. Построить амплитудно-частотный спектр в зависимости от: а) номера гармоники
n и б) угловой частоты ω. Такие же спектры построить, если Т=2 мс, остальные данные те же.

Решение:
Уравнение заданной кривой: в интервале от
t=0 до , в интервале от до .
Разбивая область интегрирования на два участка, учитывая, что
, находим коэффициенты ряда и начальные фазы гармоник:

Вычисляем коэффициенты ряда и начальные фазы гармоник. При этом имеем в виду, что

Для удобства расчеты сведены в таблицу 1.

Таблица 1

n

0

1

2

3

4

5

6

7

8

9

10

0

0

0,2p

0,4p

0,6p

0,8p

p

1,2p

1,4p

1,6p

1,8p

2p

0

0,588

0,951

0,951

0,588

0

-0,588

-0,951

-0,951

-0,588

0

2

3,74

3,03

2,02

0,935

0

-0,624

-0,866

-0,757

-0,416

0

0,3p

0,1p

-0,1p

-0,3p

-0,7p

-0,9p

-1,1p

-1,3p

 

Искомый ряд

или, учитывая, что , окончательно получим

Для определения ряда Фурье в комплексной форме находим комплексные амплитуды

Таким образом, комплексная форма ряда Фурье

На основе полученных результатов на рис. 7.2, б изображен амплитудно-частотный спектр напряжения в зависимости от номера гармоники (расчеты для n от 1 до 10 даны в таблице 1; аналогичные расчеты для n=11…30 рекомендуется проделать самостоятельно).
По данным таблицы 1 на рис. 7.2, в построен амплитудно-частотный спектр в зависимости от
. Для построения графика выбраны масштабы: по оси абсцисс одному делению соответствует ; по оси ординат в одном делении (при построении последнего графика спектральные амплитуды приведены к нормированному масштабу путем деления на ).
На рис. 7.2, г построен амплитудно-частотный спектр в зависимости от
n при Т=2 мс, а на рис. 7.2, д спектр изображен в нормированном масштабе в зависимости от (расчеты рекомендуется проделать самостоятельно).
Из рис. 7.2, в и д видно, что спектральные характеристики импульсов одной и той же длительности
зависят от периода Т следования импульсов, и чем он больше, тем гуще располагаются спектральные линии, а амплитуды соседних гармоник близки по значению.
На рис. 7.2, б-д отложены значения
, соответствующие положительным частотам. Полный спектр можно получить, если построить такой же график симметрично относительно вертикальной оси (т. е. отложить соответствующие отрезки для отрицательных частот).