Электромагнитные колебания и волны (страница 2)

Излучение электромагнитных волн

1. К антенне длиной l=2 м подводится синусоидальный ток с амплитудой и частотой . Показать, что такую систему можно рассматривать как электрический диполь, и вычислить напряженность электрического поля в воздухе на расстоянии r=50 км (в волновой зоне) под углом к оси диполя.

Решение. Длина волны . Так как , то можно приближенно считать, что I=const по длине антенны, т. е. что антенну можно рассматривать как электрический диполь. В волновой (дальней) зоне меридиальная компонента поля

так как r=50 км и , то зона будет дальней (волновой).

2. Электрическая антенна в виде провода длиной l=3 м питается синусоидальным током с частотой и амплитудой . Вычислить мощность и сопротивление излучения антенны.

Решение. Так как длина волны , то антенну можно рассматривать как электрический диполь.
Мощность излучения антенны:

Сопротивление излучения

Распространение электромагнитных волн

3. По прямолинейному проводнику радиуса а течет постоянный ток с плотностью j. Показать, что энергия, втекающая в проводник и обусловленная существованием вектора Умова—Пойтинга, на отрезке провода длиной l равна джоулевым потерям энергии в рассматриваемом объеме проводника. Проводимость проводника равна .

Решение. Электрическое поле

магнитное поле

Так как электрическое поле направлено вдоль провода (рис. 65), а магнитное перпендикулярно к проводу, то вектор Умова—Пойтинга направлен внутрь провода и равен

Следовательно, поток вектора Умова—Пойтинга через поверхность, охватывающую провод, равен

С другой стороны, потери на джоулево тепло определяются интегралом:

Сравнивая (4) и (5), приходим к выводу, что потери на джоулево тепло в проводнике компенсируются энергией, втекающей в виде волн в проводник из свободного пространства.

4. Воздушная двухпроводная линия из медных проводов характеризуется следующими параметрами: активное сопротивление , индуктивность , емкость , проводимость изоляции между проводами (утечка) . Линия предназначена для работы на частоте 20 кГц. Определите волновое сопротивление линии коэффициент распространения , коэффициент затухания и коэффициент фазы . Рассчитать длину бегущей волны и ее фазовую скорость . Решите задачу в приближении . Проверьте справедливость этого приближения для рассматриваемой линии.

Решение. По определению

так как , и

В том же приближении имеем

Проверим справедливость использованного приближения:

5. Определить коэффициент затухания двухпроводной линии, если мощность генератора составляет 0,1 Вт и на приемнике (на согласованной с линией нагрузке) должна выделяться мощность 100 мкВт. Длина линии равна 10 км.

Решение. По определению затухание равно

Коэффициент затухания линии должен быть равен

6. Двухпроводная линия из медных проводов предназначена для телефонной связи на частоте . Первичные параметры линии равны: . Вычислить индуктивность , которую надо включить на каждый километр длины, чтобы линия стала неискажающей.

Решение. Линия не будет вносить искажений, если затухание и скорость распространения волн не будут зависеть от частоты. Для этого должно выполняться условие

где — добавочная индуктивность на единицу длины линии. Из (1) находим

7. Линия без потерь, параметры которой , нагружена на чисто активное сопротивление , где — волновое сопротивление линии. Определить коэффициенты отражения , бегущей волны , стоячей волны .

Решение. Волновое сопротивление линии

Сопротивление нагрузки

Коэффициент отражения

Коэффициент бегущей волны

Коэффициент стоячей волны

8. Получите выражения для фазовой и групповой скоростей простейшей волны, распространяющейся в прямоугольном волноводе шириной а и высотой b метров.

Решение. Пусть оси координат направлены так, как указано на рис. 66. В простейшем случае имеется только одна компонента вектора напряженности электрического поля , т. е. должна иметь вид плоской волны

и удовлетворять волновому уравнению

Подставим (1) в волновое уравнение (2), получим

Как известно, простейшее решение уравнения (2‘) имеет вид

Так как поле Е перпендикулярно поверхности волновода, то при х=а

Предполагая, что , получим в простейшем случае

или

По определению, фазовая скорость равна

Используя (5′), получим

Аналогично, групповая скорость

Сравнивая (6′) и (7), легко заметить, что

9. Найдите минимальную частоту для простейшего типа волны, распространяющейся в прямоугольном волноводе шириной а и высотой b метров.

Решение. Граничные условия в волноводе (см. задачу 8.) приводят к выражению

Так как , то минимальная частота равна

10. Выразите длину волны в волноводе через длину волны в свободном пространстве в случае простейшего типа волн, распространяющихся в прямоугольном волноводе шириной а и высотой b метров.