Поведение электрической системы при небольших отклонениях от ее установившегося режима изучается для оценки нормального режима (статическая устойчивость, выбор наилучшего способа автоматического регулирования возбуждения, регулирования турбин и т. д.).

Анализ простейшей нерегулируемой системы. Работа простейшей системы, состоящей из станции, связанной линией электропередачи (или сетью, содержащей нагрузки, представленные постоянными сопротивлениями) с шинами неизменного напряжения, при малых отклонениях характеризуется уравнением

где — производная от мощности по углу, определенная по характеристике P=f(δ) при E_q=const.
Корни характеристического уравнения

При положительном (рис. 37-5) оба корня мнимые, что указывает на незатухающие колебания:

где

При отрицательном оба корня вещественны; один из них положителен, что указывает на неустойчивость.
При учете успокоительного момента, характеризуемого коэффициентом , уравнение движения имеет вид

Анализ корней характеристического уравнения показывает, что условия устойчивости здесь те же, что и в предыдущем случае.

Анализ нерегулируемой системы из двух станций (рис. 37-6). Дифференциальное уравнение имеет вид

где находятся дифференцированием выражений мощности первой и второй станций.
Из выражения для корней характеристического уравнения

следует, что устойчивость не нарушается при положительном значении относительного ускорения.
При учете нагрузки статическими характеристиками мощности станций и нагрузки находятся из выражений

Уравнения второй станции получаются заменой в первых двух уравнениях индекса 1 на 2.
Для определения величин и пользуются выражениями

Рис. 37-5. Характеристика мощности простейшей системы.

Рис. 37-6. Схема системы с двумя станциями.

где значения частных производных находятся дифференцированием приведенных выше уравнений для мощностей после подстановки в них численных значений

где

причем и берутся по характеристикам нагрузок для данного U.

Анализ сложных нерегулируемых систем. В системах, состоящих из произвольного числа станций и нагрузок, мощность каждой станции зависит от взаимных углов между э. д. с. данной станции и э. д. с. всех остальных станций. Число независимых относительных углов, через которые могут быть выражены остальные углы, на единицу меньше числа станций. Изменения мощностей машины и нагрузок можно представить в виде функций относительных углов:

Уравнения движения роторов:

Приращение мощности какой-либо станции

Система уравнений, определяющая изменения относительных углов :

Здесь a находятся из выражений вида

Верхний индекс указывает, какие приращения мощности входят в разность, нижний — по какому углу берутся производные. Об устойчивости системы судят по характеру изменений относительных углов . Изменения абсолютных углов не характеризуют устойчивость системы, так как нарастание их может происходить и в устойчивой системе.
Значения любых относительных углов находят через частные определители и определитель системы D(p):

Определитель системы имеет вид

Раскрыв определитель, получим характеристическое уравнение вида

Исследование характера корней этого уравнения позволяет установить, устойчива ли система, а если неустойчива — то каков характер нарушения устойчивости (апериодический или колебательный).

Анализ простейших систем, имеющих автоматическое регулирование. Система, в которой станция предполагается работающей на шины неизменного напряжения, не имеет успокоения и снабжена регулятором и возбудителем без запаздывания (T_p = 0; T_e = 0). Она может считаться простейшей. В этом случае при регуляторе, реагирующем на отклонения напряжения, при упрощающем допущении имеем уравнения:

Входящие в эти уравнения коэффициенты Ь и с зависят от режима.
Система уравнений обычно имеет три уравнения:

Определитель этой системы

Раскрыв выражение D(p) и приравняв его нулю, получают

где

Через Δа обозначены составляющие коэффициентов, которые зависят от действия регулятора;



и равны нулю.
Из анализа при помощи способа Гурвица видно, что устойчивость будет обеспечена при выполнении следующих двух условий:

При учете запаздывания в возбудителе (но без учета запаздывания в регуляторе) условия устойчивости при регулировании по напряжению будут следующие:

Анализ систем, имеющих сильное регулирование. Регулятор сильного действия реагирует не только на отклонения режимных параметров, но и на первую и вторую их производные . При этом генератор (или станция, замещенная эквивалентным генератором) может работать при неизменном или даже увеличивающемся с нагрузкой напряжении на зажимах генератора или в начале линии. Напряжения выхода измерительного и дифференцирующих элементов () суммируются в сумматоре:

и подаются на обмотку возбуждения возбудителя (рис. 37-7).
Уравнения первого приближения (линеаризованные) регулируемой при помощи сильного АРВ электрической системы, выраженные в операторной форме, могут быть записаны так:

Рис. 37-7. Принципиальная схема устройства автоматического регулирования возбуждения сильного действия.

ВЭ — выпрямительный элемент (постоянная времени Тр); ИЭ — измерительный элемент (постоянная времени Тро); ДЭ- дифференцирующий элемент (постоянная времени Тр1); ДДЭ- двойной дифференцирующий элемент (постоянная времени Тр2); С — сумматор.

Входящая в уравнения величина Δе зависит от того, по какому параметру ведется регулирование.
Постоянную времени измерительного элемента обычно можно принять практически равной нулю.
При любом способе регулирования Δе может быть выражена через передаточную функцию , т. е. всегда можно найти отклонения угла в виде . Характеристическое уравнение системы D(p) в общем виде:

где -слагаемые коэффициенты характеристического уравнения, зависящие от параметров системы и ее режима; — слагаемые этих коэффициентов, зависящие от действия регулирования и параметров системы.

Анализ характеристического уравнения. Целью этого анализа является установление коэффициентов регулирования по отклонению Ко, первой K1 и второй К2 производным, которые обеспечивали бы достаточно хорошее поддержание напряжения на зажимах генератора или в начале передачи (в зависимости от условий работы системы) и в достаточной мере расширяли бы область устойчивости работы (при необходимости предела линии).
Анализ обычно содержит три этапа: а) рассмотрение зависимости слагающих коэффициентов () от режима передачи, выяснение аналогичной зависимости добавок (); па основе этого рассмотрения с учетом необходимых условий устойчивости (положительность коэффициентов характеристического уравнения) можно сделать выводы о желательности добавок к тем или иным коэффициентам этого уравнения, наметив тем самым желательный способ регулирования; б) выбор коэффициента Ко по отклонению, в) выбор коэффициентов усиления K1 и К2 по производным.
При анализе обычно применяется способ D-разбиения по двум параметрам и построение областей устойчивости K2 = f(K1). Возможно также применение любых других способов анализа корней характеристического уравнения.

Исследование статической устойчивости сложной многомашинной системы с обычным или сильным регулированием возбуждения. Уравнения малых колебаний записывают для каждой эквивалентной машины, представляющей станцию сложной системы. Приращения мощностей выражают через частные производные и, составив уравнения регулятора системы возбуждения, связывают отклонения параметра, по которому происходит регулирование, с изменениями тока возбуждения. При этом сложную регулируемую электрическую систему можно условно представить в виде простых элементов, соединенных между собой: а) генератор, непосредственно включенный на узловую точку; б) генератор, включенный на узловую точку через линии, и в) линию, связывающую две узловые точки.
Целью исследования сложной регулируемой системы обычно является не только проверка устойчивости в том или ином режиме, но и нахождение способов регулирования, обеспечивающих наиболее устойчивую передачу предельной мощности по линиям без перестройки АРВ при различных изменениях в схеме передачи (изменение числа генераторов, компенсаторов, включение и отключение нагрузок и т. д.).
Исследование в конечном счете сводится к рассмотрению системы уравнений, описывающей режим при малых отклонениях. После преобразований, как в случае простейшей системы, получаем:

где D(p)=0 — характеристическое уравнение n-й степени;

Под Δa понимаются добавки к коэффициентам, зависящие от действия регулирования.

Практические расчеты статической устойчивости электрических систем. Общие замечания. Если предположить, что в системе не возникает самораскачивания, то анализ любой системы при любом способе регулирования сводится к анализу нерегулируемой системы, генераторы которой введены в схему замещения некоторыми уменьшенными (фиктивными) реактивными сопротивлениями Δх и приложенными за ними э. д. с. Ex. Величины фиктивного сопротивления и э. д. с. зависят от характеристик регулятора, степени поддержания напряжения.
Проверка по упрощенным практическим критериям, с помощью которых выявляется апериодическая устойчивость (или неустойчивость) системы, по существу сводится к выявлению знака свободного члена характеристического уравнения, который в устойчивой не самораскачивающейся системе должен быть положительным.

Упрощенные (практические) критерии устойчивости. Проверка статической устойчивости по критерию . Для систем, в которых станция связана с системой через относительно длинную линию электропередачи, расчет по критерию дает результаты, хорошо приближающиеся к действительным. Расчет ведут в следующей последовательности:
1) определяют выражение мощности, отдаваемой генератором удаленной станции;
2) находят значение производной ;
3) приравняв выражение нулю, находят предельный угол ;
4) подставив значение предельного угла в выражение для мощности, находят предел мощности, после чего, учтя нормативный коэффициент запаса по устойчивости, определяют мощность, которую можно передать от удаленной станции без нарушения статической устойчивости.
В этих расчетах неявнополюсный генератор замещается э. д. с. в зависимости от регулирования ().
У явнополюсных нерегулируемых генераторов э. д. с. Eq при изменениях нагрузки тоже изменяется. При приближенной оценке рекомендуется упрощать задачу, проводя расчет, как для неявнополсной машины, и принимая постоянной э. д. с, приложенную за сопротивлением .
В случае необходимости насыщение генераторов можно приближенно учесть, приняв для неявнополюсных машин и для явнополюсных машин .
Расчеты, проводимые при замене нагрузки постоянным сопротивлением, обычно дающие несколько завышенный (на 5-8%) предел передаваемой мощности, должны рассматриваться только как ориентировочные. Учет действительных характеристик нагрузки может производиться или только в отношении влияния изменений напряжения на шинах нагрузки на потребляемую ею мощность, или в отношении одновременного учета изменений напряжения и частоты в системе.
При проверке устойчивости по упрощенному критерию сложных разветвленных систем полагают э. д. с. всех станций неизменными (Е=const) и вычисляют синхронизирующие мощности наиболее «опасных» в отношении возможности нарушения устойчивости станций. При этом могут вычисляться синхронизирующие мощности поочередно между станциями или между группами станций. Задача всегда носит несколько неопределенный характер: при вычислении синхронизирующей мощности какой-либо станции делаются достаточно грубые допущения относительно поведения остальных станций, распределения мощностей между ними и т. п.
Величина синхронизирующей мощности в системе, состоящей из двух станций, в функции изменения угла при уже сделанном допущении о поведении нагрузки однозначно определяет предел по устойчивости. Изменение взаимного угла между двумя станциями в сложной системе не дает такой определенности, поскольку каждой комбинации относительных углов остальных станций соответствуют свои значения мощностей станций системы. Величина синхронизирующей мощности каждой станции, в том числе исследуемой, зависит от характера изменений всех относительных углов.
В практике расчетов для устранения указанной неопределенности обычно принимают одно из следующих допущений:
1) постоянство углов всех генераторных станций, кроме данной;
2) постоянство отдаваемых всеми станциями, кроме двух данных, активных мощностей.

При первом допущении угол удаленной станции, отсчитанный относительно синхронно вращающейся оси, получает перемещение (рис. 37-8). Абсолютные углы всех остальных станций и т. д. остаются при этом неизменными. Все относительные углы первой станции получают одинаковое изменение и т. д. Относительные углы остальных станций сохраняют свои значения и т. д. Такому определенному изменению относительных углов соответствуют определенные изменения мощностей всех станций, включая первую. Критерием устойчивости является знак синхронизирующей мощности , где угол берется относительно э. д. с. любой из остальных станций системы.
При втором допущении предполагается изменение активных мощностей лишь двух станций, а мощности остальных станций принимаются неизменными. Критерием устойчивости и в этом случае служит знак производной , где -угол между векторами э. д. с. станции, которая нагружается (1), и станции балансирующей (n).

Проверка устойчивости по критерию .Практически критерий статической устойчивости применяют при исследовании систем с концентрированной нагрузкой, содержащих одну или несколько узловых точек, по отношению к которым станции и нагрузки имеют примерно одинаковую электрическую удаленность.
Существо метода применительно к схеме, показанной на рис. 37-9, заключается в следующем. Каждая из нагрузок, присоединенных к узловой точке а, обладает определенной характеристикой Qн=f(Uн). Объединив все нагрузки, можно получить результирующую характеристику реактивной нагрузки узла:

При изменении исходного режима, т. е. увеличении или уменьшении величины нагрузки при U=1, зависимость представляется семейством характеристик (рис. 37-10). От каждого из генераторов к точке а поступает реактивная мощность. В случае замещения какого-либо генератора постоянной э. д. с. Еn реактивная мощность, поступающая на шины, определяется уравнением

где n — номер генератора; -сопротивление данной ветви генератора до точки а.
Суммарная реактивная мощность, поступающая от генераторов,

может быть представлена, аналогично тому как это было сделано для нагрузки, в виде семейства характеристик, каждая из которых относится к некоторому исходному режиму (рис. 37-10). Очевидно, что в любом установившемся режиме т. е. имеет место пересечение этих характеристик. Очевидно, что могут быть два вида пересечений характеристик: такое, как в точках 1, 2, 3, где при отклонении напряжения

или такое, как в точках 4, 5, 6, где

В первом случае, когда , система устойчива, так как при любом случайном уменьшении напряжения на DU появляется избыток реактивной мощности DQг, приводящий к увеличению напряжения, проявляющемуся до тех пор, пока напряжение не восстановится. Во втором случае система неустойчива.
Таким образом, критерий устойчивости напряжения, а следовательно, и устойчивости системы будет заключаться в требовании, чтобы выполнялось условие:

Рассмотренный метод расчета по пересечению характеристик генерации и потребления имеет и самостоятельное значение.

Проверка устойчивости по критерию dP/df. В некоторых системах, например имеющих электрические печи, практический критерий dP/df может оказаться решающим для определения устойчивости режима. Критерий dP/df соответствует критерию dQ/dU и применяется так же, как и критерий dQ/dU. Строятся зависимости и , по которым определяются величина и знак небаланса мощности. При построении характеристик автоматическое регулирование частоты может учитываться или не учитываться (в зависимости от условий расчета).
Энергосистема должна работать так, чтобы некоторые изменения (ухудшения) режимных параметров не приводили к наруше-.нию ее устойчивости, т. е. необходим запас. Запас по устойчивости оценивается соотношением параметров исходного и предельного (по устойчивости) режимов.
Следует, однако иметь в виду, что исходные данные по параметрам системы и ее режима бывают известны лишь с той или иной степенью точности, а возникновение аварийных ситуаций в системе носит случайный характер, поэтому результатам одиночных расчетов не всегда придают решающее значение. В ряде случаев здесь приходится проводить дополнительные исследования, связанные с учетом неточности исходных данных.

Рис. 37-8. Векторная диаграмма сложной системы.

Рис. 37-9. Схема концентрированной системы с узловой нагрузкой.

Рис. 37-10. Характеристики мощности для узловой точки системы.