Электростатическое поле заданного распределения электрических зарядов в пустоте

1. В вершинах квадрата со стороной а находятся точечные заряды (рис. 2). Определите напряженность электростатического поля и потенциал в центре квадрата. Рассмотрите случаи, когда:

Решение. Напряженность поля и потенциал системы точечных зарядов определяются соотношениями

Учитывая, что

получим

а) Если
б) Если
в) Если

2. Линейный заряд с плотностью у равномерно распределен вдоль нити, занимающей часть оси Z от до . Найдите выражения потенциала и напряженности электростатического поля для точек, лежащих в плоскости XY (z=0) (рис. 3).

Решение. По определению

Учитывая, что

получим

где углы показаны на рисунке.

1) Рассмотрим частный случай, когда :

2) Пусть , тогда

Найдем разность потенциалов между точками с координатами

Тогда при ,

так как

3) При получим

Примечание. Здесь использованы интегралы

3. Очень тонкое кольцо радиуса R равномерно заряжено с линейной плотностью заряда . Вычислите потенциал и напряженность электростатического ноля в точке, лежащей на оси кольца на расстоянии z от его центра. Найдите численные значения ,
если (рис. 4).
Решение. По определению

где — радиус-вектор точки , а r — радиус-вектор элемента ; тогда для потенциала и компонент напряженности поля имеем

После интегрирования по α от 0 до 2π получим (см. также рис. 5):

Для заданных численных значений найдем

При и при

Введем обозначения:

На рис. 5 отложена зависимость

4. Бесконечно длинная полоска шириной 2а заряжена поверхностным зарядом а так, что его величина зависит только от координаты, параллельной ширине полоски (рис. 6). Найдите выражения для компонент вектора напряженности электростатического поля в произвольной точке. Вычислите величину напряженности поля для случаев:

где — постоянные величины, .
Решение. Систему отсчета выберем так, как показано на рис. 6. На поверхности распределения заряда выделяем узкую полоску шириной dy параллельную оси X. Тогда заряд, приходящийся на единицу длины этой полоски, будет равен и поле созданное этой полоской в точке с координатами равно (см. решение задачи 2.):

Для компонента поля соответственно получим

В случае получим

Здесь использованы интегралы типа

В случае (б) при получим

Здесь использован интеграл

5. Две концентрические сферы с радиусами получили заряды соответственно, которые равномерно распределились по их поверхности. Найдите выражения для напряженности и потенциала электростатического поля в точке, удаленной на расстояние r от центра сфер.

Решение. Напряженность поля заряженных сфер найдем, используя теорему Остроградского—Гаусса:

Интеграл, стоящий слева, представляет собой поток вектора Е через замкнутую поверхность S. В качестве такой поверхности выберем сферу радиуса r, имеющую тот же центр, что и сферы . Из соображений симметрии следует, что во всех точках поверхности S вектор Е перпендикулярен этой поверхности и имеет одинаковую величину. Поэтому

Интеграл, стоящий справа, есть полный заряд внутри объема, ограниченного поверхностью S. Таким образом, получим

Для определения потенциала используем связь между в сферических координатах

Тогда

Постоянные определим из условий:
а) при , отсюда ;
б) при , тогда ;
в) при , тогда

Из условий (б) и (в) находим

Подставляя значения в выражения для потенциала, получим

Заметим, что нулевое значение потенциала (условие а)) можно задать для любой наперед выбранной точки. При этом изменятся только значения постоянных .

6. Бесконечно длинный круговой цилиндр радиуса R равномерно заряжен по объему с плотностью, заряда ρ. Найдите выражения для напряженности и потенциала электростатического поля в точке, удаленной на расстояние r от оси цилиндра.

Решение. Напряженность поля заряженного цилиндра найдем, используя симметрию заряда и теорему Остроградского—Гаусса:

Выберем в качестве поверхности S, через которую следует определить поток вектора Е, поверхность цилиндра радиуса r и высоты l, имеющего ту же ось, что и заданный цилиндр радиуса R. Из соображений симметрии следует, что во всех точках боковой поверхности цилиндра S вектор Е перпендикулярен этой поверхности и имеет одинаковую величину. На торцах же цилиндра S вектор Е параллелен поверхности. Поэтому

где — величина напряженности поля в точках на расстоянии r от оси цилиндра.
Для интеграла, стоящего справа, соответственно имеем

где h — радиус цилиндрического кольца объемом

Таким образом,

Для определения потенциала используем связь между в цилиндрических координатах

Тогда

Постоянные определим из условий непрерывности потенциала и равенства нулю потенциала в заданной точке, т. е.
при , отсюда ;
при , тогда .
Таким образом,
при ;
и при .

7. В каких точках на расстоянии R от диполя с моментом р величина напряженности электростатического поля будет иметь максимальное и минимальное значения (рис. 7)?

Решение. Выберем систему отсчета так, чтобы диполь находился в начале координат, а вектор р был параллелен оси Y. Из симметрии задачи следует, что во всех точках круга, полученного сечением плоскости у=const сферы радиуса R, величина Е будет одинакова. Таким образом, задача сводится к отысканию значений Е в точках круга радиуса R, лежащего в плоскости XY. По определению

Следовательно, напряженность поля в произвольной точке круга (рис. 7) равна

Исследование функции на экстремум показывает, что
при ;
а при .

8. На единицу площади очень тонкой пластинки, имеющей форму диска радиуса R, приходится n диполей (n — постоянная величина). Считая, что все диполи обладают одинаковым дипольным моментом р, направленным перпендикулярно поверхности пластинки, найдите выражения для потенциала и напряженности электростатического поля в произвольной точке Mt расположенной на оси диска на расстоянии z от его центра (рис. 8).

Решение. Выделим на диске кольцо радиуса h и шириной dh. Тогда все диполи на поверхности этого кольца создадут в точке М одинаковый потенциал, а так как потенциал, созданный одним диполем, равен

то потенциал, созданный в точке М всеми диполями кольца ,

Отсюда

Напряженность поля найдем из соотношения

Тогда

9. Найдите выражение для собственной энергии заряда, разномерно распределенного с плотностью р внутри сферы радиуса R. Во сколько раз энергия электростатического поля, локализованная в объеме шара, меньше энергии, локализованной вне шара?

Решение. Напряженность поля и потенциал сферы, равномерно заряженной по объему, соответственно равны

где — полный заряд внутри сферы.
Так как

то

10. Вычислите потенциальную энергию, приходящуюся на один заряд, расположенный в неограниченной линейной цепочке точечных зарядов, величина которых равна q, а знаки чередуются. Расстояние между соседними зарядами ±q равно а (рис. 9).

Решение. Пусть Е-энергия одного заряда, например +q, в поле остальных зарядов. Тогда собственная энергия всей системы зарядов равна (1/2)NE (где N — общее число зарядов). Следовательно, энергия, приходящаяся на один заряд, равна W=1/2E,
где

Таким образом,

где

11. Диполь с моментом р находится на расстоянии r от точечного заряда q. Найдите выражения для энергии диполя и силы, действующей на диполь, если:
а) вектор р параллелен прямой, соединяющей заряд и диполь .
б) вектор р перпендикулярен этой прямой (рис. 10).

Решение. По определению . Так как , то для случаев

По определению . Поэтому (см. примечание):

Для случаев

Примечание.

При , а и при
Таким образом

12. Найдите выражения для энергии и силы взаимодействия (на единицу длины) двух равномерно заряженных, бесконечно длинных параллельных нитей с линейными плотностями заряда , находящихся на расстоянии r друг от друга (рис. 11). Какую работу (на единицу длины) нужно совершить, чтобы наполовину сблизить эти нити? Определите энергию и силу взаимодействия, а также работу, если .