Эквивалентные операторные схемы

При расчете переходного процесса операторным методом желательно сразу записывать уравнения Кирхгофа в операторной форме, а также уравнения с применением методов расчета, которые основаны на уравнениях Кирхгофа (контурные токи, узловые потенциалы и т. д.). Каждую из этих систем уравнений можно записать, составив для заданной цепи эквивалентную операторную схему.
Как следует из (15.17) и (15.21), в каждой ветви с параметрами r, L и С должны быть при ненулевых начальных условиях учтены две дополнительные внутренние ЭДС , а в цепях с индуктивно связанными элементами еще и ЭДС Mi(0). На рис. 15.2 показан переход от индуктивных и емкостных элементов с мгновенными значениями (оригиналами) токов и напряжений к элементам операторной схемы (учитываются внутренние ЭДС). Сопротивления элементов операторной схемы записаны в соответствии с (15.18). Источники ЭДС (рис. 15.2) могут быть по известным правилами заменены источниками тока.
Для расчета переходного процесса после коммутации в цепи рис. 15.1 операторная схема показана на рис. 15.3. При расчете тока сразу можно записать выражение (15.17). Далее для краткости аргумент p у изображений будем опускать, если это не может вызвать недоразумений.
Отметим, что применение операторного метода для расчета переходного процесса в сложных цепях на ЭВМ не дает преимуществ по сравнению с классическим методом.

Рис. 15.2

Рис. 15.3

Пример 15.1. Определить ток i в цепи на рис. 15.4, а после размыкания рубильника, если .
Решение. Операторная схема показана на рис. 15.4, б. Операторное изображение ЭДС

Для определения напряжения нужно рассчитать режим в цепи рис. 15.4, а до коммутации. Комплексная амплитуда тока

напряжение на конденсаторе

т. е. до коммутации

Ток в схеме на рис. 15.4, б

Рис. 15.4

Функция имеет три корня: . По теореме разложения (15.10) с учетом замечания о комплексных сопряженных корнях получаем оригинал

Пример 15.2. Найти ток в цепи на рис. 15.5, а после коммутации. Параметры цепи:

Рис. 15.5

Решение. На рис. 15.5, б показана операторная схема, при составлении которой учтено, что до коммутации ток в индуктивном элементе (отрицательное, так как полярность напряжения конденсатора до коммутации обратна принятому на рис. 15.5, а положительному направлению ).
Составим уравнения по методу контурных токов:

Решив эти два алгебраических уравнения относительно тока получим

Согласно (15.8) оригинал первого слагаемого равен 2,5. Для второго слагаемого оригинал есть в приложении 4:

т. е. ток
Если параметры отдельных элементов цепи зависят от частоты, то аналитический расчет переходного процесса также целесообразно выполнить операторным методом (или с применением преобразования Фурье).

Пример 15.3. Определить ток в rС-цепи (рис. 14.13) при ее подключении к источнику постоянного напряжения U = 10 В. Запаздывание поляризации в диэлектрике конденсатора задано частотной характеристикой , где . Сопротивление резистора r = 1 МОм.
Решение. В операторной форме емкость . Операторное сопротивление конденсатора

Ток